2009考研数学一真题及答案

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2009 考研数学一真题及答案
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（1）当 时， 与 等价无穷小，则（ ）
. .
. .
【答案】
【解析】 为等价无穷小，则
故排除 。
另外 存在，蕴含了 故 排除 。
所以本题选 A。
（2）如图，正方形 被其对角线划分为
四个区域 ， ，
则 （ ）
. . . .
【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。
两区域关于 轴对称，而 ，即被积函数是关于 的
奇函数，所以 ;
两区域关于 轴对称，而 ，即被积函数是
关于 的偶函数，所以 ；
-1
-1
1
1
x
y
1
D
2
D
3
D
4
D
.所以正确答案为 A.
（3）设函数 在区间 上的图形为：
则函数 的图形为（ ）
. .
. .
【答案】
【解析】此题为定积分的应用知识考核，由 的图形可见，其图像与 轴及 轴、
所围的图形的代数面积为所求函数 ，从而可得出几个方面的特征：
1
( )f x
-2 02 3
x
-1
O
( )f x
02 3
x
1-2
-1
1
( )f x
02 3
x
1-2
-1
1
( )f x
02 3
x
1-1
1
( )f x
02 3
x
1-2
-1
1
① 时， ，且单调递减。
② 时， 单调递增。
③ 时， 为常函数。
④ 时， 为线性函数，单调递增。
⑤ 由于 F(x)为连续函数
结合这些特点，可见正确选项为 。
（4）设有两个数列 ，若 ，则（ ）
当 收敛时， 收敛. 当 发散时， 发散.
当 收敛时， 收敛. 当 发散时， 发散.
【解析】
方法一：
举反例 A 取
B 取
D 取
故答案为（C）
方法二：
因为 则由定义可知 使得 时，有
又因为 收敛，可得 则由定义可知 使得 时，有
从而，当 时，有 ，则由正项级数的比较判别法可知 收敛。
（5）设 是 3 维向量空间 的一组基，则由基 到基
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