2010考研数学三真题及答案

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2010 考研数学三真题及答案
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)若 ，则 等于
（Ａ）０　　　　　　　（Ｂ）１　　　　　　　（Ｃ）２　　　　　　　（Ｄ）３
(2) 设 , 是一阶线性非齐次微分方程 的两个特解. 若常数 ,
使 是该方程的解, 是对应的齐次方程的解, 则
（A） (B) (C) (D)
（3）设函数 具有二阶导数，且 。若 是 的极值，则
在 取极大值的一个充分条件是
(A) (B) (C) (D)
（4）设 ，则当 充分大时有
(A) . (B) .
(C) . (D) .
(5) 设向量组 可由向量组 线性表示, 则列命题正确的
是
(A) 若向量组 线性无关, 则 (B) 若向量组 线性相关, 则
(C) 若向量组 线性无关, 则 (D) 若向量组 线性相关, 则
(6)设 为 4 阶对称矩阵,且 若 的秩为 3,则 相似于
(A) (B)
(C) (D)
1
(7) 设随机变量 的分布函数 ，则
(A) 0 (B) 1 (C) (D)
(8) 设 为标准正态分布的概率密度 为 上均匀分布的概率密度,
为概率密度,则
,a b
应满足
(A) (B) (C) (D)
二、填空题(9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上.)
（9）设可导函数 由方程 确定，则
（10）设位于曲线 下方, 轴上方的无界区域为 , 则
绕 轴旋转一周所得空间区域的体积为 。
（11）设某商品的收益函数为 ，收益弹性为 , 其中 为价格, 且 ,
则
（12）若曲线 有拐点 , 则 。
(13) 设 为 3 阶矩阵, 且 则
（ 14 ） 设 是 来 自 总 体 的 简 单 随 机 样 本 。 记 统 计 量
，则 。
三、解答题(15－23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.)
（15）(本题满分 10 分)
求极限
（16）(本题满分 10 分)
计算二重积分 ,其中 由曲线 与直线 及
2
围成.
（17）(本题满分 10 分)
求函数 在约束条件 下的最大值和最小值 .
(18) (本题满分 10 分)
(1)比较 与 的大小,说明理由。
(2)记 求极限 。
（19）(本题满分 10 分)
设函数 在闭区间 上连续, 在开区间 内存在二阶导数, 且
(I) 证明存在 , 使得 ；
(II) 证明存在 , 使得 。
(20) (本题满分 11 分)
设 ， 已知线性方程组 存在两个不同的解.
(1) 求 ；
(2) 求方程组 的通解.
(21) (本题满分 11 分)
设 ,正交矩阵 使得 为对角矩阵.若 的第一列为 ,
求 .
(22)(本题满分 11 分)
设二维随机变量 的概率密度为 ， ，
求常数 以及条件概率密度 。
(23) (本题满分 11 分)
箱中装有6个球, 其中红、白、黑球个数分别为1, 2, 3个, 现从箱中随机地取出2个球,
记 为取出红球的个数,
为取出白球的个数 .
(I) 求随机变量 的概率分布；
3
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