2011考研数学二真题及答案

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2011 考研数学二真题及答案
一、选择题(1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分．下列每题给出的四个选项中，只有一
个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．)
(1) 已知当 时， 与 是等价无穷小，则( )
(A) ．　 (B) ．　 (C) ． (D)
．
(2) 已知 在 处可导，且 ，则 =( )
(A) ． (B) ． (C) ． (D) 0．
(3) 函数 的驻点个数为( )
(A) 0． (B) 1． (C) 2． (D) 3．
(4) 微分方程 的特解形式为( )
(A) ． 　 　(B) ．
(C) ． 　　　　　 　　 (D) ．
(5) 设函数 均有二阶连续导数，满足 且 ，
则函数 在点 处取得极小值的一个充分条件是( )
(A) (B)
(C) (D)
(6) 设 ， ， ，则 的大
小关系是( )
(A) ． (B) ． (C) ． (D)
．
(7) 设 为 3 阶矩阵，将 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 ，再交换 的第 2 行与第 3
行得单位矩阵，记 ， ，则 ( )
(A) ． (B) ． (C) ． (D) ．
(8) 设 是 4 阶矩阵， 为 的伴随矩阵，若 是方程组
的一个基础解系，则 的基础解系可为( )
(A) ． (B) ． (C) ． (D) ．
二、填空题(9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分．请将答案写在答题纸指定位置上．)
(9) ．
(10) 微分方程 满足条件 的解为 ．
(11) 曲线 的弧长 ．
(12) 设函数 则 ．
(13) 设平面区域 由直线 圆 及 轴围成，则二重积分
．
(14) 二次型 ，则 的正惯性指数
为 ．
三、解答题(15～23 小题，共 94 分．请将解答写在答题纸指定位置上．解答应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．)
(15) (本题满分 10 分)
已知函数 ，设 试求 的取值范围．
(16) (本题满分 11 分)
设 函 数 由 参 数 方 程 确 定 ， 求 的 极 值 和 曲 线
的凹凸区间及拐点．
(17) (本题满分 9 分)
设函数 ，其中函数 具有二阶连续偏导数，函数 可导且在
1
2
1
1
1
1
2
O
y
x
2 2
2x y y 
2 2
1x y 
处取得极值 ，求 ．
(18) (本题满分 10 分)
设函数 具有二阶导数，且曲线 与直线 相切于原点，记 为曲线
在点 处切线的倾角，若 求 的表达式．
(19) (本题满分 10 分)
(I)证明：对任意的正整数
n
，都有 成立．
(II)设 ，证明数列 收敛．
(20) (本题满分 11 分)
一容器的内侧是由图中曲线绕 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由
与 连接而成的．
(I) 求容器的容积；
(II) 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？(长度单位： ，
重力加速度为 ，水的密度为 )．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
图１
(21) (本题满分 11 分)
已知函数 具有二阶连续偏导数，且 ， ，
， 其 中 ， 计 算 二 重 积 分
．
(22) (本题满分 11 分)
设 向 量 组 ， 不 能 由 向 量组 ，
， 线性表示．
(I) 求 的值；
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