2011考研数学一真题及答案

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2011 考研数学一真题及答案
一、选择题
1、 曲线
   
432
4321 xxxxy
的拐点是（ ）
（A）（ 1，0） （B）（ 2，0） （C）（ 3，0） （D）（ 4，0）
【答案】
C
【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件
即可。
【解析】由
   
432
4321 xxxxy
可知
1, 2,3, 4
分别是
 
2 3 4
1 2 3 4 0y x x x x 
的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关
系可知
(1) 0y
，
(2) (3) (4) 0y y y
 
 
(2) 0y
，
，
(3) 0, (4) 0y y
 
 
，故（3，0）是一拐点。
2、 设 数 列
 
n
a
单 调 减 少 ，
0lim
n
n
a
，
 
n
k
kn naS
1
2,1
无 界 ， 则 幂 级 数
 
1
1
n
n
n
a x
的收敛域为（ ） （A） (-1，1] （B） [-1，1) （C） [0，2)
（D）(0，2]
【答案】
C
【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数
收敛性的一些结论，综合性较强。
【解析】
 
n
k
kn naS
1
2,1
无界，说明幂级数
 
1
1
n
n
n
a x
的收敛半径
1R
；
 
n
a
单调减少，
0lim
n
n
a
，说明级数
 
1
1
n
n
n
a
收敛，可知幂级数
 
1
1
n
n
n
a x
的收
敛半径
1R
。
因此，幂级数
 
1
1
n
n
n
a x
的收敛半径
1R
，收敛区间为
 
0, 2
。又由于
0x
时幂级数
收敛，
2x
时幂级数发散。可知收敛域为
0, 2
。
3、 设 函数
)(xf
具有二阶连续导数，且
0)( xf
，
0)0(
f
，则函数
)(ln)( yfxfz
在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ）
（A）
0)0(1)0(
ff ，
(B)
0)0(1)0(
ff ，
(C)
0)0(1)0(
ff ，
(D)
0)0(1)0(
ff ，
【答案】
C
【考点分析】本题考查二元函数取极值的条件，直接套用二元函数取极值的充分条
件即可。
【解 析 】 由
)(ln)( yfxfz
知
( )
( ) ln ( ), ( )
( )
x y
f x
z f x f y z f y
f y
 
 
 
，
( ) ( )
( )
xy
f x
z f y
f y
( ) ln ( )
xx
z f x f y
，
2
2
( ) ( ) ( ( ))
( ) ( )
yy
f y f y f y
z f x f y
 
所以
0
0
(0) (0) 0
(0)
xy x
y
f
z f
f
 
，
0
0
(0) ln (0)
xx x
y
z f f
，
2
2
0
0
(0) (0) ( (0))
(0) (0)
(0)
yy x
y
f f f
z f f
f
 
 
要使得函数
)(ln)( yfxfz
在点(0,0)处取得极小值，仅需
，
(0) ln (0) (0) 0f f f
 
 
所以有
0)0(1)0(
ff ，
4、设
4 4 4
0 0 0
ln sin , ln cot , ln cosI xdx J xdx K xdx
 
 
 
，则
, ,I J K
的大小关系是( )
（A）
IJK 
（B）
I K J 
（C）
J I K 
（D）
K J I 
【答案】
B
【考点分析】本题考查定积分的性质，直接将比较定积分的大小转化为比较对应的被积函数
的大小即可。
【解析】
(0, )
4
x
时，
2
0 sin cos cot
2
x x x  
，因此
ln sin ln cos ln cotx x x 
4 4 4
0 0 0
ln sin ln cos ln cotxdx xdx xdx
 
 
 
，故选（B）
5. 设
A
为 3 阶矩阵，将
A
的第二列加到第一列得矩阵
B
，再交换
B
的第二行与第一行得
单位矩阵.记
1
1 0 0
1 1 0
0 0 1
P
 
 
 
 
 
,
2
100
0 0 1
0 1 0
P
 
 
 
 
 
,则
A
( )
（A）
1 2
PP
（B）
1
1 2
P P
（C）
2 1
P P
（D）
1
2 1
P P
【答案】
D
【考点分析】本题考查初等矩阵与初等变换的关系。直接应用相关定理的结论即可。
【解 析 】由初等矩阵与初等变换的关系知
1
AP B
，
2
P B E
，所以
1 1 1 1
1 2 1 2 1
A BP P P P P
 
 
，故选（D）
6、设
 
4321
,,,
是 4 阶矩阵，
为
的伴随矩阵，若
 
0,1,0,1
是方程组
0x
的一个基础解系，则
0
x
基础解系可为（ ）
(A)
31
，
(B)
21
，
(C)
321
，，
(D)
432
，，
【答案】
D
【考点分析】本题考查齐次线性方程组的基础解系，需要综合应用秩，伴随矩阵
等方面的知识，有一定的灵活性。
【解析】由
0x
的基础解系只有一个知
( ) 3r A
，所以
( ) 1r A
，又由
0A A A E
 
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