2012考研数学三真题及答案
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2024-11-14
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2012 考研数学三真题及答案
一、选择题（1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，
只有一个选项是符合题目要求的。）
(1) 曲线
y=x2+x
x2−1
渐近线的条数为
(A)0 (B)1
(C)2 (D)3
【答案】C。
【解析】
由
lim
x→+∞
y=
lim
x →+∞
x2+x
x2−1=1=lim
x→−∞
y=
lim
x→−∞
x2+x
x2−1
,
得
y=1
是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线；
由
lim
x →1
y=
lim
x→ 1
x2+x
x2−1=∞
得
x=1
是曲线的一条垂直渐近线；
由
lim
x→−1
y=
lim
x →−1
x2+x
x2−1=1
2
得
x=−1
不是曲线的渐近线；
综上所述，本题正确答案是 C
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线
(2) 设函数
f
(
x
)
=(ex−1)(e2x−2)⋯(enx−n)
,其中
n
为正整数，则
f'
(
0
)
=¿
(A)
(
−1
)
n−1
(
n−1
)
!
(B)
(
−1
)
n
(
n−1
)
!
(C)
(
−1
)
n−1
(
n
)
!
(D)
(
−1
)
n
(
n
)
!
【答案】A
【解析】
【方法 1】
令
g
(
x
)
=(e2x−2)⋯(enx−n)
,则
f
(
x
)
=(ex−1)g
(
x
)
f'(x)=exg
(
x
)
+(ex−1)g '
(
x
)
f'
(
0
)
=g
(
0
)
=
(
−1
) (
−2
)
⋯(−(n−1))
¿
(
−1
)
n−1
(
n−1
)
!
故应选 A.
【方法 2】
由于
f
(
0
)
=0
,由导数定义知
f'
(
0
)
=lim
x→ 0
f(x)
x=lim
x →0
(ex−1)(e2x−2)⋯(enx−n)
x
¿lim
x→ 0
(ex−1)
x∙lim
x → 0
(e2x−2)⋯(enx−n)
¿
(
−1
) (
−2
)
⋯
(
−
(
n−1
)
)
=
(
−1
)
n−1
(
n−1
)
!
.
【方法 3】
排除法，令
n=2
,则
f
(
x
)
=(ex−1)(e2x−2)
f'
(
x
)
=ex
(
e2x−2
)
+2e2x(ex−1)
f'
(
0
)
=1−2=−1
则(B)(C)(D)均不正确
综上所述，本题正确答案是(A)
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念
(3) 设函数
f(t)
连续，则二次积分
∫
0
π
2
dθ ∫
2cos θ
2
f(r2)rdr=¿
(A)
∫
0
2
dx ∫
√
2x−x2
√
4−x2
√
x2+y2f(x2+y2)dy
(B)
∫
0
2
dx ∫
√
2x−x2
√
4−x2
f(x2+y2)dy
(C)
∫
0
2
dy ∫
1+
√
1−y2
√
4−y2
√
x2+y2f(x2+y2)dx
(D)
∫
0
2
dy ∫
1+
√
1−y2
√
4−y2
f(x2+y2)dx
【答案】B。
【解析】
令
x=rcos θ , y=rsin θ
,则
r=2
所对应的直角坐标方程为
x2+y2=4
,
r=2cos θ
所对应
的直角坐标方程为
(x−1)2+y2=1
。
由
∫
0
π
2
dθ ∫
2cos θ
2
f(r2)rdr
的积分区域
2 cos θ<r<2,0<θ<¿π
2¿
得在直角坐标下的表示为
√
2x−x2<y<
√
4−x2,0<x<2
所以
∫
0
π
2
dθ ∫
2cos θ
2
f(r2)rdr=∫
0
2
dx ∫
√
2x−x2
√
4−x2
f(x2+y2)dy
综上所述，本题正确答案是(B)。
【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计算
(4) 已知级数
∑
n=1
∞
(−1)n
√
nsin 1
nα
绝对收敛，级数
∑
n=1
∞(−1)n
n2−α
条件收敛，则
(A)
0<α ≤ 1
2
(B)
1
2<α ≤1
(C)
1<α ≤ 3
2
(D)
3
2<α<2
【答案】D。
【解析】
由级数
∑
n=1
∞
(−1)n
√
nsin 1
nα
绝对收敛，且当
n → ∞
时
|
(−1)n
√
nsin 1
nα
|
1
nα−1
2
，故
α−1
2>1
,即
α>3
2
由级数
∑
n=1
∞(−1)n
n2−α
条件收敛，知
α<2
综上所述，本题正确答案是(D)
【考点】高等数学—无穷级数—数项级数敛散性的判定
(5) 设
α1=
[
0
0
c1
]
, α2=
[
0
1
c2
]
, α3=
[
1
−1
c3
]
, α4=
[
−1
1
c4
]
,其中
c1, c2,c3, c4
为任意常数，则下列向量
组线性相关的为
(A)
α1, α 2, α3
(B)
α1, α2, α4
(C)
α1, α 3, α4
(D)
α2,α 3, α4
【答案】C。
【解析】
n
个
n
维向量相关
⇔
|
α1, α2,⋯αn
|
=0
显然
|
α1, α3, α 4
|
=
|
0 1 −1
0−1 1
c1c3c4
|
=0
所以
α1, α3, α4
必线性相关
综上所述，本题正确答案是(C)。
【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关和线性无关
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时间：2024-11-14
