2013考研数学二真题及参考答案

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2013 考研数学二真题及参考答案
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）设 ，其中 ，则当 时， 是（ ）
（A）比 高阶的无穷小 （B）比 低阶的无穷小
（C）与 同阶但不等价的无穷小 （D）与 等价的无穷小
（2）设函数 由方程 确定，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（3）设函数 ， ，则（ ）
（A） 是函数 的跳跃间断点 （B） 是函数 的可去间断点
（C） 在 处连续但不可导 （D） 在 处可导
（4）设函数 ，若反常积分 收敛，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
（5）设 ，其中函数 可微，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（ 6 ） 设 是 圆 域 在 第 象 限 的 部 分 ， 记
，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
（7）设矩阵 A,B,C 均为 n 阶矩阵，若
, BAB C则 可逆，则
（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价
（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价
（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价
（D）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的列向量组等价
（8）矩阵 与
200
0 b 0
0 0 0
 
 
 
 
 
相似的充分必要条件为
（A）
a 0, b 2 
（B）
为任意常数ba ,0
（C）
0,2 ba
（D）
为任意常数ba ,2
二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)
1
ln(1 )
lim(2 )
x
x
x
x

 
．
(10) 设 函 数
1
( ) 1
xt
f x e dt
 
， 则
( )y f x
的 反 函 数
在
0y
处 的 导 数
0y
dx
dy
．
(11)设封闭曲线 L 的极坐标方程为
cos3 ( )
6 6
r
 
 
 
，则 L 所围成的平面图形的面
积为 ．
(12)曲线
2
arctan
ln 1
x t
y t
 
上对应于
1t
的点处的法线方程为 ．
(13)已知
3 2
1
x x
y e xe 
， ， 是某二阶常系数非齐次线性微分方
程的 3 个解，该方程满足条件 的解为 ．
（14）设
ij
A (a )
是三阶非零矩阵，
| A |
为 A 的行列式，
ij
A
为
ij
a
的代数余子式，若
ij ij
a A 0(i, j 1, 2,3), ____A  则
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分 10 分）
当 时， 与 为等价无穷小，求 与 的值。
（16）（本题满分 10 分）
设 是由曲线 ，直线 及 轴所围成的平面图形， 分别是 绕
轴， 轴旋转一周所得旋转体的体积，若 ，求 的值。
（17）（本题满分 10 分）
设平面内区域 由直线 及 围成.计算 。
（18）（本题满分 10 分）
设奇函数 在 上具有二阶导数，且 .证明：
（I）存在 ，使得 ；（II）存在 ，使得 。
（19）（本题满分 11 分）
求曲线 上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。
（20）（本题满分 11 分）
设函数 ，
（I）求 的最小值
（II）设数列 满足 ，证明 存在，并求此极限.
（21）（本题满分 11 分）
设曲线 的方程为 ，
（1）求 的弧长；
（2）设 是由曲线 ，直线 及 轴所围平面图形，求 的形心的横坐标。
（22）（本题满分 11 分）
设 ，当 为何值时，存在矩阵 使得 ，并求所有
矩阵 。
（23）（ 本题满分 11 分）
设 二 次 型 ， 记
。
（I）证明二次型 对应的矩阵为 ；
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