2013考研数学三真题及答案

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2013 考研数三真题及答案
一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．、
１．当 时，用 表示比 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【详解】由高阶无穷小的定义可知（A）（B）（C）都是正确的，对于（D）可找出反例，
例如当 时 ，但 而不是
故应该选（D）．
2．函数 的可去间断点的个数为（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
【详解】当 时， ，
，所以 是函数 的可去间断点．
，所以 是函数 的可去间断点．
， 所 以 所 以 不 是 函 数
的可去间断点．
故应该选（C）．
３．设 是圆域 的第 象限的部分，记 ，
则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知
所以 ，应该选（B）．
４．设 为正项数列，则下列选择项正确的是（ ）
（A）若 ，则 收敛；
（B）若 收敛，则 ；
（C）若 收敛．则存在常数 ，使 存在；
（D）若存在常数 ，使 存在，则 收敛．
【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D）正确，故应选（Ｄ）．
此小题的（A）（B）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A），但少一
条件 ，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条
件，选项（B）也不正确，反例自己去构造．
５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则
（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价．
（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价．
（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价．
（D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价．
【详解】把矩阵 A，C 列分块如下： ，由于ＡＢ＝
Ｃ，则可知 ，得到矩阵 C 的列向量组可用矩
阵 A 的列向量组线性表示．同时由于 B 可逆，即 ，同理可知矩阵 A 的列向量组
可用矩阵 C 的列向量组线性表示，所以矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价．应该
选（B）．
6．矩阵 与矩阵 相似的充分必要条件是
（A） （B） ， 为任意常数
（C） （D） ， 为任意常数
【详解】注意矩阵 是对角矩阵，所以矩阵 A= 与矩阵
相似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．
从而可知 ，即 ， 为任意常数，故选择（B）．
7 ． 设 是 随 机 变 量 ， 且 ，
，则
（A） （B）
（C） （D）
【详解】若 ，则
， ，
，
．
故选择（A）．
8．设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 X 和 Y 的概率分布分别为
X 0 1 2 3P
P 1/2 1/4 1/8 1/8
Y -1 0 1
P 1/3 1/3 1/3
则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
【详解】
，
故选择（C）．
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）
9．设曲线 和 在点 处有切线，则 ．
【详解】由条件可知 ．所以
10．设函数 是由方程 确定，则 ．
【详解】
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