2015考研数学一真题及答案

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2015 考研数学一真题及答案
一、选择题：1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项
中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定
位置上。
(1)设函数 在 内连续，其中二阶导数 的图形
如 图 所 示 ， 则 曲 线 的 拐 点 的 个 数 为
( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】（C）
【解析】拐点出现在二阶导数等于 0，或二阶导数不存在的点，并且在这点
的左右两侧二阶导函数异号。因此，由 的图形可得，曲线
存在两个拐点.故选（C）.
(2) 设 是二阶常系数非齐次线性微分方程
的一个特解，则
( )
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】（A）
【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来
确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然
后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程
解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.
【解析】由题意可知， 、 为二阶常系数齐次微分方程
的解，所以 2,1 为特征方程 的根，从而
， ，从而原方程变为 ，
再将特解 代入得 .故选（A）
(3) 若级数 条件收敛，则 与 依次为幂级数
的 ( )
(A) 收敛点，收敛点
(B) 收敛点，发散点
(C) 发散点，收敛点
(D) 发散点，发散点
【答案】（B）
【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。
【解析】因为 条件收敛，即 为幂级数 的条件收敛
点，所以 的收敛半径为 1，收敛区间为 。而幂级数逐项
求 导 不 改 变 收 敛 区 间 ， 故 的 收 敛 区 间 还 是 。 因 而
与 依 次 为 幂 级 数 的 收 敛 点 ， 发 散 点 . 故 选
（B）。
(4) 设 是第一象限由曲线 ， 与直线 ，
围成的平面区域，函数 在 上连续，则
( )
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】（B）
【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分
【解析】先画出 D 的图形，
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