2016考研数学二真题及答案
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2016 考研数学二真题及答案
一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．
１．当 时，若 ， 均是比 高阶的无穷小，则 的可能
取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【详解】 ，是 阶无穷小， 是 阶无穷小，由
题意可知
所以 的可能取值范围是 ，应该选（B）．
2．下列曲线有渐近线的是
（A） （B） （C） （D）
【详解】对于 ，可知 且 ，所以有斜渐
近线
应该选（C）
3．设函数 具有二阶导数， ，则在 上（ ）
（A）当 时， （B）当 时，
（C）当 时， （D）当 时，
【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．
【详解 1】如果对曲线在区间 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显
然就是联接 两点的直线方程．故当
时，曲线是凹的，也就是 ，应该选（D）
【详解 2】如果对曲线在区间 上凹凸的定义不熟悉的话，可令
，则 ，且
，故当 时，曲线是凹的，从而 ，即
，也就是 ，应该选（D）
4．曲线 上对应于 的点处的曲率半径是（ ）
（Ａ） （Ｂ） (Ｃ） （Ｄ）
【详解】 曲线在点 处的曲率公式 ，曲率半径 ．
本题中 ，所以 ， ，
对应于 的点处 ，所以 ，曲率半径 ．
应该选（C）
5．设函数 ，若 ，则 （ ）
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
【详解】注意（1） ，（2） ．
由于 ．所以可知 ， ，
．
6．设 在平面有界闭区域
D
上连续，在 D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足
及 ，则（ ）．
（A） 的最大值点和最小值点必定都在区域
D
的边界上；
（B） 的最大值点和最小值点必定都在区域
D
的内部；
（C） 的最大值点在区域
D
的内部，最小值点在区域
D
的边界上；
（D） 的最小值点在区域
D
的内部，最大值点在区域
D
的边界上．
【详解】 在平面有界闭区域
D
上连续，所以 在 D 内必然有最大值和最小
值 ． 并 且 如 果 在 内 部 存 在 驻 点 ， 也 就 是 ， 在 这 个 点 处
，由条件，显然 ，显然 不
是极值点，当然也不是最值点，所以 的最大值点和最小值点必定都在区域
D
的边
界上．
所以应该选（A）．
7．行列式 等于
（ A ） （ B ） （ C ） （ D ）
【详解】
应该选（B）．
8．设 是三维向量，则对任意的常数 ，向量 ， 线性无关
是向量 线性无关的
（A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件
（C）充分必要条件 （D） 非充分非必要条件
【详解】若向量 线性无关，则
（ ， ） ，对任意的常数 ，
矩阵 的秩都等于 2，所以向量 ， 一定线性无关．
而当 时，对任意的常数 ，向量 ， 线性
无关，但 线性相关；故选择（A）．
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）
9． ．
【详解】
．
10 ． 设 为 周 期 为 4 的 可 导 奇 函 数 ， 且 ， 则
．
【详解】当 时， ，由 可知 ，
即 ； 为周期为 4 奇函数，故 ．
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