2016考研数学三真题及答案

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2016 考研数学三真题及答案
一、 填空题：1－6 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上.
（1）
（2）设函数 在 的某邻域内可导,且 ， ，则
（3）设 函 数 可 微 , 且 , 则 在 点 (1,2) 处 的 全 微 分
（4）设矩阵 ， 为 2 阶单位矩阵，矩阵 满足 ，则
.
（5）设随机变量 相互独立，且均服从区间 上的均匀分布，则
_______.
（6）设总体 的概率密度为 为总体 的简
单随机样本，其样本方差为 ，则
二、选择题：7－14 小题，每小题 4 分，共 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（7）设函数 具有二阶导数，且 ， 为自变量 在点 处
的增量， 分别为 在点 处对应的增量与微分，若 ，则
(A) . (B) .
(C) . (D) . [ ]
（8）设函数 在 处连续，且 ，则
(A) 存在 (B) 存在
(C) 存在 (D) 存在 [ ]
（9）若级数 收敛，则级数
(A) 收敛 . （B） 收敛.
(C) 收敛. (D) 收敛. [ ]
（10）设非齐次线性微分方程 有两个不同的解 为任意常
数，则该方程的通解是
（Ａ） . （Ｂ） .
（Ｃ） . （Ｄ） [ ]
（11）设 均为可微函数，且 ，已知 是 在约
束条件 下的一个极值点，下列选项正确的是
(A) 若 ，则 .
(B) 若 ，则 .
(C) 若 ，则 .
(D) 若 ，则 . [
]
（12）设 均为 维列向量， 为 矩阵，下列选项正确的是
(A) 若 线性相关，则 线性相关.
(B) 若 线性相关，则 线性无关.
(C) 若 线性无关，则 线性相关.
(D) 若 线性无关，则 线性无关. [
]
（13）设 为 3 阶矩阵，将 的第 2 行加到第 1 行得 ，再将 的第 1 列的 倍加到第 2
列得 ，记 ，则
（Ａ） . （Ｂ） .
（Ｃ） . （Ｄ） . ［ ］
（14）设随机变量 服从正态分布 ， 服从正态分布 ，且
则必有
(A) (B)
(C) (D) [ ]
三 、解答题：15－23 小题，共 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分 7 分）
设 ,求
(Ⅰ) ；
(Ⅱ) .
（16）（本题满分 7 分）
计算二重积分 ，其中 是由直线 所围成的平面区域.
（17）（本题满分 10 分）
证明：当 时，
.
（18）（本题满分 8 分）
在 坐标平面上，连续曲线 过点 ，其上任意点 处的切线
斜率与直线 的斜率之差等于 （常数 ）.
(Ⅰ) 求 的方程；
(Ⅱ) 当 与直线 所围成平面图形的面积为 时，确定 的值.
（19）（本题满分 10 分）
求幂级数 的收敛域及和函数 .
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