2019考研数学二真题及答案

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2019 考研数学二真题及答案
一、选择题:1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项
符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
1、当 时，若 与 是 同阶无穷小量，则 （ ）
、 . 、 . 、 . 、 .
【答案】 .
【解析】因为 ，所以 ，选 .
2、曲线 的拐点是（ ）
、 . 、 . 、 . 、 .
【答案】 .
【解析】 ， ，令 ，解得 或
。
当 时， ；当 时， ，所以 是拐点。故选 .
3、下列反常积分发散的是（ ）
、 . 、 . 、 . 、
.
【答案】 .
【解析】 、 ，收敛；
、 ，收敛；
、 ，收敛；
、 ，发散，故选 。
4、已知微分方程的 通解为 ，则 依次
为（ ）
、 . 、 . 、 . 、 .
【答案】D.
【解析】 由题设可知 是特征方程 的二重根，即特征方程为
，
所以 。又知 是方程 的特解，代入方程的
。故选 。
5、 已 知 积 分 区 域 ， ，
，
，则（ ）
、 . 、 . 、 . 、 .
【答案】 .
【解析】比较积分的大小，当积分区域一致时，比较被积函数的大小即可解决问题。
由 ，可得 【画图发现 包含在圆 的
内 部 】 ， 令 ， 则 ， 于 是 有 ， 从 而
。
令 ，则 ， 。 在 内单调
减少，
在 单调增加，又因为 ，故在 内 ，即
，从而 。综上，选 。
6、设函数 的二阶导数在 处连续，则 是两条曲线
，
在 对应的点处相切及曲率相等的（ ）
、充分非必要条件. 、充分必要条件. 、必要非充分条件. 、既非充分也非必
要条件.
【答案】 .
【解析】充分性：利用洛必达法则，由 可得
及 ，
进而推出 ， ， 。由此可知两曲线在 处有
相同切线，且由曲率公式 可知曲线在 处曲率也相等，充分性得证。
必要性：由曲线 ， 在 处相切，可得 ，
；
由曲率相等 ，可知 或 。
当 时，所求极限
，而 未必等于
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