2019考研数学三真题及答案

2019 考研数学三真题及答案

一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上）

（1）设

,0

,

1

cos

)( 













x

x

xf 若

若



其导函数在 x=0 处连续，则



的取值范围是_____.

（2）已知曲线

bxaxy 

23

3

与 x 轴相切，则

2

b

可以通过 a 表示为



2

b

________.

（3）设 a>0，

，

x

a

xgxf 其他

若,10

,0

,

)()( 









而 D 表示全平面，则





D

dxdyxygxfI )()(

=_______.

（4）设 n 维向量

0,),0,,0,(  aaa

T





；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵

T

EA





，

T

a

EB



1



，

其中 A 的逆矩阵为 B，则 a=______.

（5）设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.9,若

4.0 XZ

，则 Y 与 Z 的相关系数为______

__.

（6）设总体 X 服从参数为 2 的指数分布，

n

XXX ,,,

21



为来自总体 X 的简单随机样本，

则当

n

时，





n

i

in

X

n

Y

1

2

1

依概率收敛于______.

二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（1）设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且

)0(f

存在，则函数

x

xf

xg )(

)( 

[]

(A)在 x=0 处左极限不存在.(B)有跳跃间断点 x=0.

(C)在 x=0 处右极限不存在.(D)有可去间断点 x=0.

（2）设可微函数 f(x,y)在点

),(

00

yx

取得极小值，则下列结论正确的是[]

(A)

),(

0

yxf

在

0

yy 

处的导数等于零.（B）

),(

0

yxf

在

0

yy 

处的导数大于零.

(C)

),(

0

yxf

在

0

yy 

处的导数小于零.(D)

),(

0

yxf

在

0

yy 

处的导数不存在.

（3）设

2

nn

n

aa

p



，

2

nn

n

aa

q



，

,2,1n

，则下列命题正确的是[]

(A)若





1n

n

a

条件收敛，则





1n

n

p

与





1n

n

q

都收敛.

(B)若





1n

n

a

绝对收敛，则





1n

n

p

与





1n

n

q

都收敛.

(C)若





1n

n

a

条件收敛，则





1n

n

p

与





1n

n

q

敛散性都不定.

(D)若





1n

n

a

绝对收敛，则





1n

n

p

与





1n

n

q

敛散性都不定.

（4）设三阶矩阵















abb

bab

bba

A

，若 A 的伴随矩阵的秩为 1，则必有[]

(A)a=b 或 a+2b=0.(B)a=b 或 a+2b



0.

(C)a



b 且 a+2b=0.(D)a



b 且 a+2b



0.

（5）设

s



,,,

21



均为 n 维向量，下列结论不正确的是[]

(A)若对于任意一组不全为零的数

s

kkk ,,,

21



，都有

0

2211



ss

kkk





，则

s



,,,

21



线性无关.

(B) 若

s



,,,

21



线性相关，则对于任意一组不全为零的数

s

kkk ,,,

21



，都有

.0

2211



ss

kkk





(C)

s



,,,

21



线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s.

(D)

s



,,,

21



线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.

（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：

1

A

={掷第一次出现正面}，

2

A

={掷第二次出现

正面}，

3

A

={正、反面各出现一次}，

4

A

={正面出现两次}，则事件[]

(A)

321

,, AAA

相互独立.(B)

432

,, AAA

相互独立.

(C)

321

,, AAA

两两独立.(D)

432

,, AAA

两两独立.

三、（本题满分 8 分）

设：

).1,

2

1

[,

)1(

1

sin

11

)( 



 x

xxx

xf



试补充定义 f(1)使得 f(x)在

]1,

2

1

[

上连续.

四、（本题满分 8 分）

设 f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足

1

2









v

f

u

f

，又

)](

2

1

,[),(

22

yxxyfyxg 

求

.

2

y

g

x

g







五、（本题满分 8 分）

计算二重积分

.)sin(

22)(

22

dxdyyxeI

D

yx









其中积分区域 D=

}.),{(

22



 yxyx

六、（本题满分 9 分）

求幂级数









1

2

)1(

2

)1(1

n

x

n

x

的和函数 f(x)及其极值.

七、（本题满分 9 分）

设 F(x)=f(x)g(x),其中函数 f(x),g(x)在

),( 

内满足以下条件：

)()( xgxf 



，

)()( xfxg 



，且 f(0)=0,

.2)()(

x

exgxf 

求 F(x)所满足的一阶微分方程；

求出 F(x)的表达式.

八、（本题满分 8 分）

设函数 f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1.试证必存

在

)3,0(



，使

.0)( 





f

九、（本题满分 13 分）

已知齐次线性方程组













,0)(

332211

nn

xbaxaxaxa

xaxbaxaxa

xaxaxbaxa

xaxaxaxba







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