2020考研数学二真题及答案

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e
x
1
l
n
1
x
0
0
0
2020考研数学二真题及答案
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
（1） 当 x 0 时，下列无穷小量中最高阶是（ ）
（A）
x
e
t
2 1
dt （B）
x
ln
1
t
2
dt
（C）
sin x
sin t
2dt
0
【答案】（D）
1cos x
（D） 0
sin t 2 dt
【解析】由于选项都是变限积分，所以导数的无穷小量的阶数比较与函数的比较是相同的。
（A）
x
e
t
2
1
dt
ex1 x2
0
（B）
x
ln
1
t
2
dt
ln
1
x2
x
（C） （C）
sin
x
sin t
2
dt
sin
sin
2
x
x
2
（D）
0
1cos x
0
dt
sin x 1 x3
2
经比较，选（D）
（2） 函数 f (x)
1
(ex 1)(x 2)
的第二类间断点的个数为 （ ）
（A）1（B）2（C）3（D）4
【答案】（C）
【解析】由题设，函数的可能间断点有 x 1, 0,1, 2 ，由此
1
lim f
(x) lim
ex1 ln 1 x
s
i
n
t
2
s
i
n
(
1
c
o
s
x
)
2
e
x
1
l
n
1
x
2
e
x
1
l
n
1
x
1
e 2lim ln 1 x  ；
x1x1 (ex 1)(x 2) 3(e1 1) x1
1
lim f (x) lim
e1lim ln(1 x) 1 ；
x0x0 (ex 1)(x 2) 2 x0x2e
e
x
1
l
n
1
x
n
x2
2
x2
1
lim f (x) lim ln 2
1
lim ex1 0;
x1
1
x1 (ex 1)(x 2) 1 e x1
；
lim
ln 2
1
lim ex1 ;
x1 (ex 1)(x 2) 1 e x1
1
ex1 ln 1 xe ln 3 1
lim f (x) lim 1)(x 2)
(e 1)
lim
x 2
故函数的第二类间断点（无穷间断点）有 3 个，故选项（C）正确。
1 arcsin
（3） （3）x dx （ ）
0
2
（A）
4
x 1 x
2
（B）
8
（C）
4
（D）
8
【答案】（A）
【解析】令 sin t ，则 x sin2 t ， dx 2 sin t cos tdt
2
1
arcsin
x dx 2 t 2 sin t cos tdt 2 2tdt
t22
0x 1
x
0 sin t cos t0
04
（4） f x x2 ln 1 x, n 3 时， f n 0
（A）
n!
n
2
（B）n!
n
2
n 2!
（C） （D）
n
n
2!
n
【答案】(A)
xn
2
xn2xn
【解析】由泰勒展开式， ln(1 x)
n1
，则
xln(1 x)
n1
，
n3
故 f (n) (0)
n! .
n 2
e
x
1
l
n
1
x
e
x
1
l
n
1
x
x
n
n
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