2020下半年教师资格初中数学学科知识与教学能力真题及答案

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2020 下半年教师资格初中数学学科知识与教学能力真题及
答案
注意事项：
1. 考试时间为 120 分钟，满分 150 分。
2. 请按规定在答题卡上填涂、作答。在试卷上作答无效，不予评分。
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请用 2B 铅笔把答题卡上对应题
目的答案字母按要求涂黑。错选、多选或未选均无分。
1. 极限 的值是（ ）。
A. B. C. ∞ D. 不存在
2. 设 α 为向量 m= (2,2,1)和 n= (-1,2,2)的夹角，则 是（ ）。
A. B. C. D.
3. 设 ， ，则下列不正确的是（ ）。
A. 在 上连续 B. 在 上一致连续
C. 在 上可导 D. 在 上单调递减
4. 空间曲面 被平面 截得的曲线是（ ）。
A. 椭圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 圆
5. 甲乙两位选手通过五局三胜制比赛争夺 1000 元奖金，前三局比赛结果为甲二胜一负，
现因故停止比赛，设在每局比赛中，甲乙获胜的概率都是 ，如果按照甲乙最终获
胜的概率大小分配奖金，甲应得奖金为（ ）。
A. 500 元 B. 600 元 C. 666 元 D. 750 元
6. 已知球面方程为 ，在 z 轴上一点 P 作球面的切线与球面相切与点 M，线段 PM
长为 ，则在点 P 的坐标(0,0,z)中，z 的值为（ ）。
A. B. 2 C. 3 D. 4
7. 编制数学测试卷的步骤一般为（ ）。
A. 制定命题原则，明确测试目的，编拟双向细目表，精选试题
B. 明确测试目的，制定命题原则，精选试题，编拟双向细目表
C. 明确测试目的，制定命题原则，编拟双向细目表，精选试题
D. 明确测试目的，制定命题原则，编拟双向细目表，精选试题
8. 解二元一次方程组用到的数学方法主要是（ ）。
A. 降次 B. 放缩 C. 消元 D. 归纳
二、简答题（本大题共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）
9. 计算行列式 。
10. 设函数 在 上连续，证明 。
11. 设 A 是 3×4 矩阵，其秩为 3，已知 ， 为非齐次线性方程组 AX=b
两个不同的解，其中 ， 。
（1）请用 ， 构造 AX=0 的一个解，并写出 Ax=0 的通解；（4 分）
（2）求 AX=b 的通解。（3 分）
12. 简述进行单元教学设计的基本流程。
13. 简述数学运算的基本内涵。
三、解答题（本大题 1 小题，10 分）
14. 已知一束光线在空气中从点 A 到达水面上的点 P，然后折射成水下的点 B（如图所
示），射光在空气中的速度为c，在水中的速度为 ，光线在点 P 的入射角为
，折射角为 。
（1）若 OP 长为 ，请写出光线从点 A 到达点 B 所需时间 的表达式；
（2）若是光线由点 A 到达点 B 所需时间的极小值，证明 。
四、论述题（本大题 1 小题，15 分）
15. 伴随着大数据时代的到来，数据分析已经深入到现代社会生活的各个方面，结合实例
阐述在中学数学中培养学生数据分析能力的意义。
五、案例分析题（本大题 1 小题，20 分）阅读案例，并回答问题。
16. 案例：“三角形中位线定理”是八年级学生的学习内容，下面是两位教师的教学片段：
（一）教师甲
在讲授中位线定理这一内容时，利用“数学软件 A”作了两次测量，一次是验证三角形中
位线定理，另一次是验证顺次连接四边形的中点所围成的图形为平行四边形。教师甲发现
当他让学生动手测量的时候，有一部分学生懒散地坐着，没有刚开始接触该软件时那样积
极，课后教师向几位同学询问情况，有学生说这两道题书上都有结论，早就看过了，再去
测量是不是有点儿傻?
（2）教师乙
教师首先让学生探究问题，如图 2，五边形 ABCDE中，点 F、G、H、I 分别是 AB、BC、CD、DE
的中点，J、K 分别是 FH、GI 的中点，AE与JK 有什么关系?
学生们马上打开“数学软件 A”进行测量，很快发现 AE=4JK，能不能证明发现的结论呢？
学生们没有一点头绪。
教师提示说当遇到问题解决不了的时候，我们是不是进一步先解决容易的问题？教师引导
学生去研究三角形中位线定理和顺次连接四边形中点所围成的图形是平行四边形两个问题
经过师生的共同研究，取AD 的中点 L 后，学生不仅验证了AE=4JK，而且高兴地发现 AE 和
JK 还存在平行关系，如图3 。
问题：
（1）请分别对教师甲和乙的教学进行评价；（10 分）
（2）请画出适用于本节课教学的“三角形中位线定理”证明的示意图（图中辅助线用虚线
表示）；（5 分）
（3）结合本案例，请谈谈信息技术在数学中的作用。（5 分）
六、教学设计题（本大题 1 小题，30 分）
17. 针对“分式的基本性质”一课完成下列教学设计。
（1）写出教学重点；（6 分）
（2）设计新知识（性质均分）的导入和探索过程；（16 分）
（3）设计一个运用分数基本性质的问题，并给出解答。（8 分）
参考答案
一、选择题
1.【答案】A。
2.【答案】B。
3.【答案】B。
4.【答案】C。
5.【答案】D。

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